1. Угол А тругольника АВС равен 80*. Найдите угол между прямыми, содержащими биссектрисы внешних углов при вершинах В и С.

2. Центры трех попарно касающихся окружностей совпадают с вершинами треугольника со сторонами 5 см, 6 см и 7 см. найдите радиусы этих окружностей.

3. Из середины О гипотенузы восставлен перпендикуляр к ней, пересекающий один катет в точке Р, а продолжение другого в точке Q. Найдите гипотенузу, если ОР=р, ОQ=q.

4. В правильном треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС выбраны точки Р и Q соответственно, причем АР:РВ=1:3 и РQIIАС. Найдите периметр трапеции АРQC, если сторона треугольника АВС=12 см.

1

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2011-07-23T13:11:34+00:00

1. Пусть угол А равен х, тогда сумма других углов 180-х, а сумма половинок этих углов 90-х/2. Отсюда угол между прямыми, на которых лежат биссектрисы равен 90-х/2 по правилу внешнего угла. Но х=80. Значит, искомый угол равен 50 градусов.

Ответ: 50.

2. Точка касания окружностей и центры этих же окружностей лежат на одной прямой. Если в этот треугольник вписать окружность, то точки касания данных окружностей и точки соприкосновения вписанной окружности со сторонами треугольника совпадут. Пусть радиус одной из окружностей равен х. Известно, что х=р-а, где р - полупериметр, а - противолежащая сторона. Значит, радиусы окружностей равны 4, 3 и 2 см соответственно.

Ответ: 4 см; 3 см; 2 см.

3. Треугольник АВС, С - прямой угол.

Т.к. угол ВАС - общий у треугольников АВС и AOQ, то угол AQO=ACB. Треугольники AQO и РОС подобны по первому признаку. Значит:

OQ/AO=OC/PO;

OQ/CO=CO/PO;

CO^2=pq;

c^2=4pq;

c=2kop(pq).

Ответ: 2кор(pq).

4. AP=QC=12/4=3 см.

PQ=3АС/4 по подобию треугольников АВС и PBQ. Отсюда периметр трапеции равен 12+3+3+9=27 см.

Ответ: 27 см.