В треугольнике abc отношения сторон AB:BC:CA=5:7:9; BP и CM - ,bc и cm - биссектрисы, K - середина BC. Найти отношение площадей треугольников ABC и PMK

1

Ответы и объяснения

2013-09-09T10:18:31+00:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.
По теореме о биссектрисе 
\frac{BM}{AM}=\frac{7}{9}\\
\frac{AP}{PC}=\frac{5}{7}\\
BM+AM=7y+9y=5x\\
AP+PC=5z+7z=9x\\
BK=KC=\frac{7x}{2}\\
\\
BM=\frac{35x}{16}\\
AM=\frac{45x}{16}\\
\\
AP=\frac{45x}{12}\\
PC=\frac{63x}{12}\\
\\

Найдем углы треугольника по теореме косинусов  
cosABC=\frac{81x^2-25x^2-49x^2}{-2*5x*7x}=-\frac{1}{10}\\
cosBAC=\frac{49x^2-25x^2-81x^2}{-2*5x*9x}=\frac{19}{30}\\
cosBCA=\frac{25x^2-81x^2-49x^2}{-2*7x*9x}=\frac{5}{6}\\
\\
MK=\frac{7x\sqrt{97}}{16}\\
KP=\frac{7\sqrt{3}x}{4}\\
MP=\frac{21x\sqrt{5}}{16}\\

По формуле  Герона   
p=\frac{7x+5x+9x}{2}=\frac{21x}{2}\\
 S_{ABC}=\sqrt{\frac{21x}{2}(\frac{21x}{2}-7x)(\frac{21x}{2}-5x)(\frac{21x}{2}-9x)}   =   \frac{21\sqrt{11}x^2}{4}\\



Теперь площадь MPK но через формулы стороны и углу между ними 
sinMPK=\frac{7\sqrt{11}}{6\sqrt{15}}\\

S_{MPK}=\frac{\frac{21x\sqrt{5}}{16}*\frac{7\sqrt{3}x}{4}}{2}*\frac{7\sqrt{11}}{6\sqrt{15}}=\frac{343\sqrt{11}x^2}{256}\\
\frac{S_{ABC}}{S_{MPK}}=\frac{192}{45}