Ответы и объяснения

2013-09-09T00:42:03+04:00
1). \frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1}<0
Разложим числитель и знаменатель на линейные множители:
x^{2}-x+1=0
D = 1 - 4 < 0, значит, разложить на множители не удастся и т.к. старший коэффициент выражения > 0, то всё выражение, стоящее в числителе может принимать только значения > 0.
Рассмотрим знаменатель:
x^{2} + x + 1 = 0
D = 1 - 4 < 0, и старший коэффициент > 0, значит, выражение, стоящее в знаменателе может принимать только значения > 0.
Тогда и вся дробь может принимать значения > 0. А нас интересуют значения х, при которых неравенство < 0. Получаем ответ: нет решений.

2). \frac{2(x^{2}+2x-3)^{2}}{(x^{2}+3x+2)(x-4)}< 0
\frac{2(x+3)^{2}(x-1)^{2}}{(x+1)(x+2)(x-4)}< 0
Используя метод интервалов, и учитывая кратные корни -3 и 1, получаем ответ:
x \in (- \infty; -3) \cup (-3;-2) \cup (-1; 1) \cup (1;4)

3). \frac{10-x^{2}-4x}{49-x^{2}} < \frac{3}{7+x}
\frac{x^{2}+4x-10}{x^{2}-49} - \frac{3}{x+7}< 0
\frac{x^{2}+4x-10 - 3(x-7)}{(x-7)(x+7)} < 0
\frac{x^{2}+4x-10 - 3x+21}{(x-7)(x+7)} < 0
\frac{x^{2}+x+11}{(x-7)(x+7)} < 0
Выражение, стоящее в числителе, на множители не раскладывается (D < 0) и с учетом старшего коэффициента делаем вывод, что выражение, стоящее в числителе может принимать только положительные (> 0) значения.
С помощью метода интервалов находим ответ: x \in (-7; 7).