Как вывести формулы соотношения синуса и тангенса, косинуса и тангенса?

sin x = \frac{2tg \frac{x}{2}}{1+tg^{2}\frac{x}{2}} cos x =\frac{1-tg^2 \frac{x}{2}}{1+tg^{2} \frac{x}{2}}

Подробно, если несложно!

1

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
  • PhysM
  • главный мозг
2013-09-01T19:23:29+04:00
Сначала выведем для косинуса:
1+\tan^2\cfrac{x}{2}=\cfrac{1}{\cos^2\cfrac{x}{2}}\\\cos^2\cfrac{x}{2}=\cfrac{1}{1+\tan^2\cfrac{x}{2}}\\2\cos^2\cfrac{x}{2}=1+\cos x\\1+\cos x=\cfrac{2}{1+\tan^2\cfrac{x}{2}}
\cos x=\cfrac{2}{1+\tan^2\cfrac{x}{2}}-1=\cfrac{1-\tan^2\cfrac{x}{2}}{1+\tan^2\cfrac{x}{2}}
Получаем:
\cos x=\cfrac{1-\tan^2\cfrac{x}{2}}{1+\tan^2\cfrac{x}{2}}
Теперь выведем для синуса:
\cos x=\cfrac{1-\tan^2\cfrac{x}{2}}{1+\tan^2\cfrac{x}{2}}\\\sin x=\cos x\tan x\\\tan x=\cfrac{2\tan\cfrac{x}{2}}{1-\tan^2\cfrac{x}{2}}\\\sin x=\cfrac{1-\tan^2\cfrac{x}{2}}{1+\tan^2\cfrac{x}{2}}\cdot\cfrac{2\tan\cfrac{x}{2}}{1-\tan^2\cfrac{x}{2}}=\cfrac{2\tan\cfrac{x}{2}}{1+\tan^2\cfrac{x}{2}}
Получаем:
\sin x=\cfrac{2\tan\cfrac{x}{2}}{1+\tan^2\cfrac{x}{2}}