Найти бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, сумма которой равна 8/3, а сумма прогрессии, составленной из квадратов ее членов, в 8 раз больше.

1

Ответы и объяснения

2013-08-31T21:58:57+04:00
Пусть  b_{1}; b_{2}=b_{1}q; b_{3}=b_{1}q^{2}; b_{4}=b_{1}q^{3}, ... - исходная бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма которой равна
S= \frac{b_{1}}{1-q}= \frac{8}{3}

Рассмотрим прогрессию, составленную из квадратов ее членов:
b_{1}^{2}; b_{2}^{2}=(b_{1}q)^{2}=b_{1}^{2}q^{2}; b_{3}^{2}=(b_{1}q^{2})^{2}=b_{1}^{2}q^{4}; ...
Она тоже является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом b_{1}^{2} и знаменателем q^{2}
Значит, ее сумма вычисляется по формуле:
S_{1}=\frac{b_{1}^{2}}{1-q^{2}}=\frac{64}{3}

Получаем систему уравнений
 \left \{ {{\frac{b_{1}}{1-q}= \frac{8}{3}} \atop {\frac{b_{1}^{2}}{1-q^{2}}=\frac{64}{3}}} \right.
 \left \{ {{b_{1}=\frac{8}{3}(1-q)} \atop {3b_{1}^{2}=64(1-q^{2})}} \right.

Подставим 1-е во 2-е
3* \frac{64}{9}*(1-q)^{2}=64(1-q^{2})
 \frac{1}{3}*(1-q)^{2}=(1-q)(1+q)
 \frac{1}{3}- \frac{1}{3}q=1+q
 \frac{4}{3}q=- \frac{2}{3}
q=- \frac{1}{2}

Значит, b_{1}=\frac{8}{3}(1-q)=\frac{8}{3}(1+\frac{1}{2})=\frac{8}{3}* \frac{3}{2}=4

b_{1}=4; b_{2}=4*(-\frac{1}{2})=-2; b_{3}=4*(-\frac{1}{2})^{2}=1; ... - искомая прогрессия