Найдите площадь равнобокой трапеции, меньшее основание которой равно 2 см, тупой угол при нем равен 120, если известно, что в трапецию можно вписать окружность

1

Ответы и объяснения

  • nov
  • почетный грамотей
2011-05-19T20:47:28+04:00

Обозначим трапецию как АВСД, где ВС-меньшее основание, а АД-большее основание. Проведем в ней две высоты ВК и СН. 

По условию ВС=2, а угол В=120*. В четырехугольнике сумма углов прилежащих к одной стороне равна 180*, значит угол А=60* и угол Д=60*(т.к. трапеция равнобедренная по условию). Треугольники АВК и СНД равны по гипотенузе и катету (АВ=СД по условию, ВК=СН-как высоты). Угол АВК=30*, значит АК=1/2АВ(по свойству угла в 30*). КВСН-прямоугольник, значит ВС=КН=2. Пусть АВ=х, тогда СД-тоже равно х, АК=НД=х/2. 

(Далее: напомню в 8 классе было свойство которое говорило, что: если в четырехугольник можно вписать окружность, то сумма противоположных сторон четырехугольника равны), значит имеем:

х+х=2+2+х/2+х/2,

2х=4+х,

х=4.

Значит: АД=6

Площадь трпеции вычисляется по формуле: 1/2(ВС+АД)ВК.

Найдем ВК по теореме Пифагора: ВК=(АВ в квадр.-АК в квадр.) и все под корнем, получим, что ВК=2 корень из 3.

Значит площадь равна: 1/2(2+6)*2 корень из 3=8 корень из 3.