При каких значениях параметра "p" уравнение x^2+(2p-1)x+p^2-1=0 имеет хотя бы один отрицательный путь?

2

Ответы и объяснения

  • PhysM
  • главный мозг
2013-08-25T17:02:45+04:00
x^2+(2p-1)x+p2-1=0\\D=(2p-1)^2-4(p^2-1)=4p^2-4p+1-4p^2+4=5-4p
Чтобы уравнение имело хотя бы один отрицательный корень, дискриминант должен быть больше нуля:
5-4p>0\\4p<5\\p<\cfrac{5}{4}
Для отбора корней проверим условие D=0;
5-4p=0\\p=1
Заметим? что при p=1 уравнение не имеет отрицательных корней, значит это значение не входит в ответ.
Ответ: p\in \left(-\infty;1)\cup \left(1;\cfrac{5}{4}\right)
Комментарий удален
есть место, лень человеческая мешает ))
Комментарий удален
Не исправил, а испортил.
Комментарий удален
Лучший Ответ!
2013-08-25T23:09:25+04:00
Данное уравнение является квадратным.
1) Рассмотрим случай, когда свободный член равен нулю.
p^2-1=0
p=\pm 1
При р=-1 x^2-3x=0 не имеет отрицательных корней.
При р=1 x^2+x=0 имеет один отрицательный корень (х=-1)
2) Рассмотрим случай, когда второй коэффициент при х равен нулю, а свободный член не равен нулю, т.е. при p= \frac{1}{2} :
x^2+( \frac{1}{2} )^2-1=0\\ x^2= \frac{3}{4}
Это уравнение имеет корни разных знаков.
3) Рассмотрим случай, когда уравнение является полным.
Условие существования по крайней мере одного корня - это D \geq 0
D=(2p-1)^2-4(p^2-1)=4p^2-4p+1-4p^2+4=5-4p
а) Если у уравнения возможен единственный отрицательный корень, то 
p= \frac{5}{4} , тогда x=- \frac{3}{4} - отрицательный.
Если существует два корня, то
x_{1,2}=\dfrac{(1-2p) \pm \sqrt{5-4p}}{2},\ p < \frac{5}{4}
В таком случае оба корня могут оказаться отрицательными, но потребуем, чтобы отрицательным оказался меньший из этих корней:
\begin{cases} p < \frac{5}{4} \\ \dfrac{(1-2p)- \sqrt{5-4p}}{2}<0 \end{cases} <=> \begin{cases} p < \frac{5}{4} \\ \sqrt{5-4p}>1-2p \end{cases}
Последняя система неравенств равносильна совокупности условий:
\begin{cases} p < \frac{5}{4} \\ p \leq  \frac{1}{2} \\ 5-4p>1-4p+4p^2 \end{cases} или \begin{cases} p < \frac{5}{4} \\ p >  \frac{1}{2} \end{cases}
\begin{cases} p \leq \frac{1}{2} \\ 4p^2<4 \end{cases} или \frac{1}{2}<p<\frac{5}{4}
\begin{cases} p \leq \frac{1}{2} \\ -1<p<1 \end{cases}
p \in (-1;\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; \frac{5}{4})
Итак, p \in (-1; \frac{5}{4})