Друзья!нужна Ваша помощь.помогите решить задачку по геометрии.
В прямоугольном треугольнике АВС из острых углов проведены медианы, длины которых равны корень из 52 и корень из 73. Определить косинус большего из острых углов.
заранее спасибо!

2

Ответы и объяснения

  • Artem112
  • Ведущий Модератор
2013-08-23T16:30:39+00:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.
При проведении медиан кроме всего прочего у нас образовалось два прямоугольных треугольника BXC и АУС. Так как АХ и ВУ - медианы, то обозначим ВУ=СУ=b, АХ=СХ=а и запишем теорему Пифагора для указанных выше треугольников:
 \left \{ {{(2a)^2+b^2=( \sqrt{52} )^2} \atop {a^2+(2b)^2=( \sqrt{73} )^2}} \right.
Решим эту систему:
 \left \{ {{4a^2+b^2=52} \atop {a^2+4b^2=73}} \right.
\\\
b^2=52-4a^2
\\\
a^2+4(52-4a^2)=73
\\\
a^2+208-16a^2=73
\\\
-15a^2=-135
\\\
a^2=9
\\\
a=3
\\\
b^2=52-4\cdot3^2=16
\\\
b=4
Находим гипотенузу исходного треугольника АВС:
c= \sqrt{(2a)^2+(2b)^2} =\sqrt{6^2+8^2} =10
Так как против большей стороны лежит больший угол, а катет ВС (ВС=8) больше катета АС (АС=6), то большим будет угол, лежащий против стороны ВС, то есть угол А.
cosA= \frac{AC}{AB} =\frac{2a}{c} =\frac{6}{10} =0.6
Ответ: 0,6
А почему у вас образовалось 2 прямоугольных треугольника? Медиана, это же не высота, чтоб падать под прямым углом...
На картинке по-моему видно почему, потому что исходный треугольник прямоугольный...
решение верное)я сдала его уже сегодня))
2013-08-23T16:34:04+00:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.
Пусть КОСИНУС угла, из которого выходит медиана m1 = √52; равен x; а косинус другого угла y; и вторая медиана m2 = √73;
Ясно, что a = c*x; b = c*y; (c гипотенуза, a b катеты);
По теореме косинусов
m2^2 = c^2 + (a/2)^2 - 2*c*(a/2)*x;
или 73 = с^2 +a^2/4 - a^2 = c^2 - 3*a^2/4; (использовано a = c*x)
точно так же 52 = c^2 - 3*b^2/4;
если это сложить, получится 125 = 5*с^2/4; c = 10;
Теперь уже легко найти a и b
73 = c^2 - 3*a^2/4; a^2 = 36; a = 6; b = 8; получился "египетский" треугольник.
Косинус его большего острого угла равен 3/5; (а меньшего 4/5)
на самом деле, есть технически очень простое решение, основанное на формуле длины медианы в произвольном треугольнике (или - что ТО ЖЕ САМОЕ, что в параллелограмме сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей). С учетом того, что третья медиана равна с/2; и a^2 + b^2 = c^2; соотношение 5c^2 = 4*(m1^2 + m2^2); получается само собой.