9^x/4^x-6^x+9^x Помогите с решением. Нужно найти наибольшее значение и точку x в которой оно достагается

Нужно найти наибольшее значение и точку x в которой оно достагается

9^x/4^x-6^x+9^x

1

Ответы и объяснения

  • miad
  • светило науки
2013-08-21T15:08:32+04:00
Первым делом упростим:
 \frac{9^x}{4^x-6^x+9^x}= \frac{1}{((\frac{2}{3})^{x})^2-(\frac{2}{3})^x+1}=(((\frac{2}{3})^{x})^2-(\frac{2}{3})^x+1)^{-1} 
Теперь найдем производную:
(\frac{1}{((\frac{2}{3})^{x})^2-(\frac{2}{3})^x+1})'=((((\frac{2}{3})^{x})^2-(\frac{2}{3})^x+1)^{-1})'=-1 \cdot (((\frac{2}{3})^{x})^2-(\frac{2}{3})^x+1)^{-2} \cdot (2(\frac{2}{3})^{x}(\frac{2}{3})^{x}ln(\frac{2}{3})-(\frac{2}{3})^x ln(\frac{2}{3}))= \\ 
=- \frac{ln(\frac{2}{3})(2((\frac{2}{3})^{x})^2-(\frac{2}{3})^x) }{((\frac{2}{3})^{x})^2-(\frac{2}{3})^x+1)^{2}}
Для нахождения экстремумов приравняем производную к нулю:
- \frac{ln(\frac{2}{3})(2((\frac{2}{3})^{x})^2-(\frac{2}{3})^x) }{((\frac{2}{3})^{x})^2-(\frac{2}{3})^x+1)^{2}}=0
Данное дробное выражение равно нулю, когда его числитель равен нулю, а знаменатель нет:
 \left \{ {2((\frac{2}{3})^{x})^2-(\frac{2}{3})^x=0} \atop {(\frac{2}{3})^{x})^2-(\frac{2}{3})^x+1 \neq 0}} \right.
Сделаем замену ( \frac{2}{3})^x=y и решим данную систему:
 \left \{ {2y^2-y=0} \atop {y^2-y+1 \neq 0}} \right. \\
 \left \{ {2y^2=y} \atop {y={\cyr lyboe chislo} }} \right. \\
 \left \{ { \left \{ {{y=0} \atop {y=1/2}} \right.} \atop {y={\cyr lyboe chislo} }} \right.
Теперь надо перейти назад к иксу:
\left \{ {{(2/3)^x=0} \atop {(2/3)^x=1/2}} \right. \\
\left \{ {net reshenia} \atop {x=log_{2/3}(1/2)}} \right.
Находим значение в этой точке:
(((\frac{2}{3})^{log_{2/3}(1/2)})^2-(\frac{2}{3})^{log_{2/3}(1/2)}+1)^{-1}=((1/2)^2-1/2+1)^{-1}=(1/4-1/2+1)^{-1}=(3/4)^{-1}=4/3