Ответы и объяснения

  • PhysM
  • главный мозг
2013-08-17T11:43:21+00:00
Положим, что a,b,c есть корни данного уравнения тогда:
(x-a)\cdot(x-b)\cdot(x-c)=(x^2-x(a+b)+ab)\cdot(x-c)=x^3-x^2(a+b)+xab-x^2c+xc(a+b)-abc=x^3-x^2(a+b+c)+x(ca+cb+ab)-abc
Получаем такую зависимость:
x^3-x^2\cdot(a+b+c)+x\cdot(ca+bc+ab)-abc
Приведем данное уравнение к такому виду, т.е сделаем его приведенным:
2x^3+7x^2+5x+1=x^3+\frac{7}{2}x^2+\frac{5}{2}x+\frac{1}{2}
Заметим, что x=-\frac{1}{2}  является одним из корней уравнения:
-2\cdot\frac{1}{8}+7\cdot\frac{1}{4}-\frac{5}{2}+1=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}
Составляем систему:
-(a+b+c)=\frac{7}{2}
 ca+bc+ab=\frac{5}{2}
 abc=\frac{1}{2}
Так как один из корней найдем, положим что b=-\frac{1}{2}
Получаем следующую систему:
a+c=-\frac{7}{2}+\frac{1}{2}=-6
ca-\frac{c}{2}-\frac{a}{2} = \frac{5}{2}
ac=-1
Для нахождения двух неизвестных используем систему из двух уравнений:
a+c=-6
ac=-1
Заметим, что данная система не имеет рациональных решений, ее решения имеют вид:
a=-3\pm\sqtr{10}
c=-3\pm\sqrt{10}
Для экономии места, вычисления опущены.
Получаем, что данное уравнение имеет только один рациональный корень:
-\frac{1}{2}
Ответ: -\frac{1}{2}