Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2013-08-13T10:34:33+00:00
Рассмотрим проблему существования решений  уравнения   х2 – y2 = k в целых числах. Докажем, что если целые числа  х и  y  есть решение этого уравнения, то число k при делении на 4 не дает в остатке 2 Итак, пусть существуют целые числа  х и  y, которые удовлетворяют этому уравнению, тогда: если оба числа х и  y – четные, то числа х2 и y2 делятся на 4, откуда следует, что  и разность х2 – y2 = k  делится на 4; если одно из чисел х или  y  четное, а другое нечетное, то число        х2 – y2 , а значит и число k нечетное; если оба числа х и y – нечетные, то так как квадрат нечетного числа при делении на 4 дает в остатке 1 (докажите это самостоятельно), заключаем, что число  х2 – y2 = k  делится на 4. Таким образом, мы убедились, что если целые х и  y – решение уравнения, то число k при делении на 4 не может давать в остатке 2. Докажем обратное утверждение: если целое число k при делении на 4 не дает в остатке 2, то уравнение имеет решение. Если k удовлетворяет этому условию и является четным числом, то оно делится на 4, следовательно, (k/4) есть целое число. Тогда нетрудно убедится в том, что целые числа х=(k/4)+1 и y=(k/4)-1 являются решением этого уравнения. Если k удовлетворяет условию и является нечетным числом, то k=2т+1, где т некоторое целое число. Тогда нетрудно убедиться в том, что числа х= т+1, y= т – целые и удовлетворяют уравнению.