друзья мне очень нужна ваша помощь с геометрией..посмотрите задачку:

В прямоугольном треугольнике АВС с острым углом 30 градусов, проведена высота СД из вершины прямого угла С. Найти расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольник АСД и треугольник ВСД,если меньший катет треугольника АВС равен 1.

1

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2013-08-11T09:32:57+00:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.
Если соединить центры этих окружностей с основанием высоты, то эти отрезки будут биссектрисами прямых углов, которые высота образует с гипотенузой. Поэтому они перпендикулярны. Поскольку при этом длины касательных от основания высоты к обеим окружностям равны радиусам, то расстояния от него до центров равны величине диагонали квадрата со стороной r1 и r2. Искомое расстояние (в квадрате) отсюда равно (√2*r1)^2 + (√2*r2)^2 = 2*(r1^2 + r2^2);
Для треугольника с катетом 1 и углом в 30° стороны равны 1, √3 и 2. 
Отсюда r = (1 + √3 - 2)/2 = (√3 - 1)/2; это радиус окружности, вписанной в АВС.
Коэффициенты подобия для треугольников равны 1/2 и √3/2 (у одно из треугольников меньший катет - это высота АВС, равная √3/2, а у другого эта высота - больший катет, откуда меньший равен 1/2). поэтому r1 = r/2; r2 = r√3/2; легко видеть, что искомое расстояние d = √2*r (треугольник, образованный отрезками соединяющими центры с основанием высоты и между собой, оказался тоже подобный исходному, то есть в нем гипотенуза в 2 раза больше меньшего катета, равного √2*r1 = √2*r/2; Ответ d = √2*(√3 - 1)/2
то есть соотношение d = √2*√(r1^2 + r2^2); верно в любом прямоугольном треугольнике.
можно пойти дальше, и заметить, что r1 = (a/c)*r и r2 = (b/c)*r; r = (a + b - c)/2; тогда d = √2*r; и это верно всегда :)
дело в том что ответ должен быть 0,5
а хотя...если посчитать то 0,5 и получится спасибо)
Ответ 0,5 - неверный, r1 + r2 = 0,5; а О1О2 заведомо больше, так как окружности не касаются, между ними есть зазор.