У
трапеции АВСД основание АД в 4 раза больше основания ВС, а площадь
трапеции 50. Точка О — точка пересечения диагоналей, точка Р — середина
основания АД, М — точка пересечения АС и ВР, точка N — точка пересечения
ВД и СР. Найти площадь треугольника МNО.





1

Ответы и объяснения

2013-08-08T08:27:56+00:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.
Треугольники МВС и АМР подобны, и ВС/AP = 1/2; => CM/AM = 1/2; откуда AM = 2*CM; AC = AM + CM = 2*CM + CM = 3*CM; СМ = AC/3;
подобны и треугольники ВОС и AOD, и CO/OA = BC/AD = 1/4; то есть AO = 4*CO; AC = AO + OC = 4*OC + OC = 5*AC; CO = AC/5;
отсюда MO = CM - CO = AC*(1/3 - 1/5) = AC*2/15;
Точно так же показывается, что NO = BD*2/15; (ясно, что BO = DO/4; откуда BD = BО  +OD = BO + 4*BO = 5*BO; а из подобия треугольников BNC и PMD => BN/ND = BC/PD = 1/2; ND = 2*BN; BD = ND + BN = 3*BN; далее ON = BN - BO = BD*(1/3 - 1/5) = BD*2/15); 
Если провести CК II BD, точка К лежит на продолжении AD, то BDKC – параллелограмм, и CK = BD; и угол AOD = угол ACK;
треугольник ACK подобен треугольнику MON, потому что соответственные стороны пропорциональны (NO = BD*2/15 = CK*2/15; MO = AC*2/15, угол AOD = угол ACK). Коэффициент подобия равен 2/15. 
Поскольку  AK = AD + BC, площадь треугольника ACK равна H*(AD + BC)/2, где H – расстояние от С до AD, то есть – высота трапеции. 
То есть площадь ACK равна площади трапеции S.
 
Отсюда площадь MON равна S*(2/15)^2 = 50*4/225 = 8/9;
Площадь ACK равна площади трапеции S. АСК - это треугольник, построенный "на диагоналях", то есть его боковые стороны - диагонали трапеции, а третья сторона - сумма оснований.
почему это полезно знать? ну вот к примеру задачка - диагонали трапеции 3 и 4, а основания 3,3 и 1,7; (или 4,11 и 0,89) найти площадь. Сложнейшая задача, ответ 6 :))) диагонали трапеции при этом перпендикулярны :))