В прямоугольном треугольнике авс (угол С=90) угол А=30, АВ=4корня из 3. Найдите радиус окружности с центром в точке А, касающейся окружности, проходящей через вершины В, С и середину гипотенузы.

1

Ответы и объяснения

2013-08-07T12:27:19+00:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.
М - середина АВ, О - центр окружности, К - точка пересечения ВО и АС. Поскольку ВК - диаметр окружности, а угол С - прямой, точка К лежит на окружности. 
Стороны АВС легко вычислить, поскольку угол А = 30°.
ВС = AC/2 = 2√3; AC = 4√3*(√3/2) = 6; 
Так же MB = MC = AC/2 = 2√3;
Ясно, что ВМС - равносторонний треугольник. O - центр его описанной окружности. Поэтому ВО - биссектриса угла В. При этом точка К (в которой пересекаются окружность, катет АС и биссектриса ВО) делит сторону АС в отношении АК/KC = AB/BC = 2; поэтому АК = 4, КС = 2;
Так же легко сосчитать радиус окружности КО = 2; (занятно, что проще всего В ЭТОЙ ЗАДАЧЕ это увидеть, если заметить, что КОС - тоже равносторонний треугольник. Хотя R = a/√3 в любом равностороннем треугольнике...).
Осталось увидеть, что угол ОКА = 120°; - внешний угол треугольнику ВКС, он равен угол AСB + угол KBC = 90° + 30°;
По теореме косинусов для треугольник АОК
AO^2 = 4^2 + 2^2 + 4*2 = 28; AO = 2√7;
Если есть две касающиеся окружности - одна радиуса 2 с центром в О, другая - радиусом R с центром в А, то АО = R + 2; отсюда R = 2√7 - 2;