Какое двузначное число меньше суммы квадратов его цифр на 11 и больше их удвоенного произведения на 5?

1

Ответы и объяснения

2013-08-07T15:55:34+04:00
Пусть ab - исходное число, значит, его можно представить как 10*a+b
Используя заданные условия, составим и решим систему уравнений:

 \left \{ {{10a+b+11= a^{2}+b^{2} } \atop {10a+b=2ab+5}} \right.

Из первого уравнения вычтем второе

11=a^{2}+b^{2}-2ab-5
или 
(a-b)^{2}=16

Получаем два случая и соответственно решаем 2 системы:

1).  \left \{ {{a-b=4} \atop {10a+b=2ab+5}} \right.

 \left \{ {{a=b+4} \atop {10(b+4)+b=2b(b+4)+5}} \right.

\left \{ {{a=b+4} \atop {2b^{2}-3b-35=0} \right.

Из двух корней 2-го уравнения системы один получается отрицательным и нам не подходит, а второй нас удовлетворяет:

 \left \{ {{a=9} \atop {b=5}} \right.

Значит, искомое число 95.

2).  \left \{ {{a-b=-4} \atop {10a+b=2ab+5}} \right.

 \left \{ {{a=b-4} \atop {10(b-4)+b=2b(b-4)+5}} \right.

\left \{ {{a=b-4} \atop {2b^{2}-19b+45=0} \right.

Решая второе уравнение системы, убеждаемся, что нам подходит только корень b = 5

 \left \{ {{a=9} \atop {b=5}} \right.

Аналогичный результат: 95.