Медианы, проведенные к катетам прямоугольного треугольника, равны m1 и m2. Найдите медиану, проведенную к гипотенузе.

1

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2013-07-30T22:28:19+04:00
Чертеж к задаче во вложении.
Пусть медианы АМ=m1 и ВЕ=m2 пересекаются в точке О. Тогда и третья медиана СК проходит через О. Следовательно, ЕК - средняя линия ∆АВС.
Введем обозначения:
СВ=х, СА=у, СК=m3.
В прямоугольном ∆ЕСВ по теореме Пифагора 
EB^2=EC^2+BC^2=(\frac{y}{2})^2+x^2=\frac{y^2}{4}+x^2=(m_2)^2
В прямоугольном ∆AСM по теореме Пифагора 
AM^2=AC^2+CM^2=y^2+(\frac{x}{2})^2=y^2+\frac{x^2}{4}=(m_1)^2
В прямоугольном ∆KЕС по теореме Пифагора 
CK^2=EC^2+EK^2=(\frac{x}{2})^2+(\frac{y}{2})^2=\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}=(m_3)^2
Получим систему уравнений:
\begin{cases} \frac{x^2}{4}+y^2=(m_1)^2 \\ x^2+\frac{y^2}{4}=(m_2)^2 \\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}=(m_3)^2 \end{cases} <=>\begin{cases} \frac{5x^2}{4}+\frac{5y^2}{4}=(m_1)^2+(m_2)^2 \\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}=(m_3)^2 \end{cases} <=>\\&#10;\begin{cases} x^2+y^2=\frac{4}{5}((m_1)^2+(m_2)^2) \\ x^2+y^2=4(m_3)^2 \end{cases} =>
4(m_3)^2=\dfrac{4((m_1)^2+(m_2)^2)}{5}\\&#10;(m_3)^2=\dfrac{(m_1)^2+(m_2)^2}{5}\ => m_3=\sqrt{\dfrac{(m_1)^2+(m_2)^2}{5}}\\\\&#10;Ombem:\ m_3=\sqrt{\dfrac{(m_1)^2+(m_2)^2}{5}}.
Технически проще можно ТО ЖЕ САМОЕ сделать так
a^2 + (b/2)^2 = (m1)^2; (a/2)^2 + b^2 = (m2)^2; если сложить, (5/4)*(a^2 + b^2) = (m1)^2 + (m2)^2; или (c/2)^2 = ((m1)^2 + (m2)^2)/5; само собой, с/2 = m3; это все