Ответы и объяснения

2013-07-30T09:15:35+00:00
Справедлива теорема: Пусть функция y=f(x), непрерывная на интервале (a; b), имеет на этом интервале только одну точку экстремума – точку x1. Тогда если x1 - точка максимума, то f(x1)- наибольшее значение функции f(x) на интервале (a; b); если же x1 - точка минимума, то f(x1)  - наименьшее значение функции f(x) на интервале (a; b).

D(f)=(0;+\infty) - интервал (0; 3) принадлежит этому множеству, и функция там непрерывна.
f'(x)=\dfrac{1}{x}-1=\dfrac{1-x}{x}
x=1 - единственная критическая точка на (0; 3).
       +             -            -
о----------|-----------o------>
0            1             3
Поскольку в окрестности х=1 производная меняет знак с "+" на "-", сама функция изменяет поведение с возрастания на убывание, т.е. х=1 - точка максимума.
Следовательно, в силу указанной выше теоремы функция принимает наибольшее значение на интервале (0; 3) именно при х=1. Это значение равно
у(1)= ln 1 - 1 = 0 - 1 = - 1.
Ответ: 1.