Нужно найти сумму...
1*2^1 + 2*2^2 + ... + n*2^n
n=9
т.к. последовательность состоит из 9 членов, это не трудно посчитать механически. Для меня сложность состоит в том, что при большем "n" - например 143, или 569 я просто не смогу её решить.
Если не трудно, помогите...

2

Ответы и объяснения

  • Участник Знаний
2013-07-26T09:23:39+00:00
Лучший Ответ!
2013-07-26T09:50:14+00:00
Рассмотрим функцию 
F(t)=\dfrac1{\ln 2}(2^t+2^{2t}+\dots+2^{nt})

C одной стороны, F'(1) совпадает с нужной нам суммой. С другой стороны,
F'(t)=\dfrac1{\ln 2}(2^t+2^{2t}+2^{3t}+\dots+2^{nt})'=\\=\dfrac1{\ln 2}\left(\dfrac{2^t(2^{nt}-1)}{2^t-1}\right)'=\dfrac{2^t (1-2^{n t}+n\cdot2^{n t} (2^t-1)) }{(2^t-1)^2}  

F'(1)=\dfrac{2 (1-2^{n}+n\cdot2^{n} (2-1)) }{(2-1)^2} =(n-1)\cdot2^{n+1}+2