Помогите пожалуйста!!!

1.\frac{x}{x^2+y^2} - \frac{y(x-y)^2}{x^4-y^4} \cdot 4

2.Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=\frac{1}{3}x^{3} - x^{2} +x +2 на отрезке [0;3]

3.Составить уравнение касательной к графику функции y=\frac{x+3}{x-1} в точке пересечения с осью Оy

4.Исследовать функцию y=\frac{x^{2}}{x^{2}-4} на возрастание, убывание и экстремумы.

5.Составить уравнение касательной к кривой y=x^{3}-3x^{2} через точку с абциссой x_{0}= 1

Спасибо большое заранее! :)

1

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2013-07-12T12:53:43+00:00

1) \frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y(x-y)^2}{x^4-y^4}*4=\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y(x-y)^2}{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)}*4=\\\ =\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{4y(x-y)}{(x+y)(x^2+y^2)}=\frac{x(x+y)-4y(x-y)}{(x+y)(x^2+y^2)}=\frac{x^2+xy-4xy+4y^2}{(x+y)(x^2+y^2)}=\\\ =\frac{x^2-3xy+4y^2}{(x+y)(x^2+y^2)}

 

2) D(y)=R

y'=x²-2x+1=(x-1)²

y'=0 =>  x=1 принадлежит  [0;3]

у(1)=7/3

у(0)=2

у(3)=5

 

На отрезке  [0;3]   у=5-наибольшее значение (при х =3), у=2 - наименьшее значение (при х=0)

 

3) Точка пересечения с Оу имеет абсциссу х=0, ординату у=-3.

Уравнение касательной имеет вид у=у(х₀) + y'(x₀)(x-x₀), где х₀=0, у(х₀)=у(0)=-3

y'(x)=(\frac{x+3}{x-1})'=\frac{(x-1)-(x+3)}{(x-1)^2}=\frac{-4}{(x-1)^2}\\\ y'(x_0)=y'(0)=\frac{-4}{(0-1)^2}=-4 

Получим уравнение касательной: у=-3+(-4)(х-0), т.е. у=-4х-3.

 

4) D(y) = (-∞;-2)U(-2;2)U(2;+∞)

y'=\frac{2x(x^2-4)-x^2*2x}{(x^2-4)^2}=\frac{2x^3-8x-2x^3}{(x^2-4)^2}=\frac{-8x}{(x^2-4)^2}=\frac{-8x}{(x-2)^2(x+2)^2} \\\ y'=0 => x=0

    +      +        -          -

------o------|-------o--------->

       -2      0        2

Функция возрастает на (-∞; -2) и на (-2; 0), убывает на  (0; 2) и на (2;+∞).

В окрестности х=0 производная меняет знак с "+" на "-", значит, х=0 - точка максимума.

у(0)=0 - максимум функции.

 

5) Уравнение касательной имеет вид у=у(х₀) + y'(x₀)(x-x₀), где х₀=1, у(х₀)=у(1)=-2

y'(x)=(x^3-3x^2)'=3x^2-6x=3x(x-2)\\\ y'(x_0)=y'(1)=3(1-2)=-3 

Получим уравнение касательной: у=-2+(-3)(х-1), т.е. у=-3х+1.