Высота, проведенная к основанию паралелограмма, 9 см. Диагональ паралелограмма , у которого острый угол 60 градусов, делит его тупой угол в отношении 1:3. Найдите сумму квадратов диагоналей паралелограмма.

1

Ответы и объяснения

2013-07-12T12:12:52+00:00

Как известно, сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон, т.е. ВД²+АС²=2(АВ²+АД²)

 

1) По свойстыу параллелограмма ∠А+∠В=180°, следовательно, ∠В=180°-60°=120° -тупой угол.

По условию ∠В делится диагональю ВД на части в отношении 1:3, т.е. всего частей 1+3=4, и тогда меньшая часть равна 120°:4·1=30°, а большая часть равна 120°:4·3=90°

Получили ∠ВДА=30°, ∠ВДС=90°.

2) В прямоугольном ∆ВАН 

AH=\frac{BH}{tg\ A}=\frac{9}{tg60^0}=\frac{9}{\sqrt3}=3\sqrt3 \\\ AB=\frac{AH}{cos\ A}=\frac{3\sqrt3}{cos60^0}=\frac{3\sqrt3}{\frac{1}{2}}=6\sqrt3

3) ∠ВДС=90° => ∠ДВА=90° (накрестлежащие).

В прямоугольном ∆ВАД  АД=2АВ=2*6√3=12√3.

4) Итак,

AC^2+BD^2=2((6\sqrt3)^2+(12\sqrt3)^2)=2(108+432)=1080.