Дослідити функцію методами диференціального числення та використовуючи результати досджень,побудувати її графік

y=\frac{1}{6}x^3-x^2+1 помогите срочно надо

2

Ответы и объяснения

2013-07-04T00:04:26+04:00

οбласть :  D_f \in R

 

первая производная :

 

\frac d{dx} f(x)= \frac d{dx}\frac{1}{6}x^3-\frac d{dx}x^2+\frac d{dx}1= \frac{1}{6}\cdot 3x^2-2x+0=\frac{x^2}{2}-2x

 

второя производная :

 

\frac{d^2 } {dx} f(x) = \frac d {dx} (\frac{x^2}{2}-2x)= \frac d {dx} \frac{x^2}{2}-\frac d {dx}2x)= \frac 1 2 \cdot 2x -2= x-2

 

принципя

 

1. f(x) возрастающая  если  производная > 0

2. f(x) убывающая если  производная < 0

3. f(x) неубывающая  и невозрастающая (стала или екстремум ) если  производная = 0

 

4. f(x) вypuкла если  второя производная > 0

5. f(x) вогнутая если  второя производная < 0

6. f(x) невypuкла и невогнутая  ( перегиб или прямая ) если  второя производная = 0

 

ад 3

 

екстрема

 

\frac{x^2}{2}-2x = 0 \newline \newline \frac x 2(x -4) = 0                    x_1= 0 \newline \newline x_2 = 4

 

 f(0) = \frac{1}{6} \cdot 0^3-0^2+1= 1

 f(4) = \frac{1}{6} \cdot 4^3-4^2+1= -\frac{13}{3}

 

ад 1

 

возрастание

 

\frac{x^2}{2}-2x > 0 \newline \newline \frac x 2(x -4) > 0                       \left \{ {{x<0} \atop {x>4}} \right

 

ад 2

 

убывание

 

\frac{x^2}{2}-2x < 0 \newline \newline \frac x 2(x -4) < 0                         0<x<4

 

 

ad 6

 

перегиб

 

x-2 =0 \newline \newline x=2

 

 f(2) = \frac{1}{6} \cdot 2^3-2^2+1= -\frac{5}{3}

 

 

ad 4

 выпукла:

 

x-2 > 0 \newline \newline x >2

 

ад 5

 

вогнутая

 

x-2 < 0 \newline \newline x <2

 

 тепер рисуем  : во вложению  граф

 

 

 

 

 

2013-07-04T00:12:22+04:00

y'=0.5x²-2x

0.5x²-2x=0

x(0.5x-2)=0

x=0 или 0.5x-2=0

             0.5x=2

               x=4

-----+--------0------------4-------+------>

(-∞;0)∨(4;∞) возрастает

(0;4) убывает

х=0 точка max (0;1)

х=4 точка min   (4; -4,3333)