В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 3√3, 11 и углом в 30° между ними. Все боковые ребра =8. Найти объем пирамиды

1

Ответы и объяснения

2013-07-02T07:56:25+00:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.

Объем пирамиды вычисляется по формуле

 

V=\frac{1}{3}S_{osnovani}*h\quad(**)

 

В данном случае площадь основания пирамиды вычислить легко по формуле площади треугольника

 

S_{osnovani}=\frac{1}{2}*3\sqrt{3}*11*\sin 30^\circ

 

S_{osnovani}=\frac{3\sqrt{3}*11}{4}

 

Теперь надо найти высоту пирамиды. Сделать это непросто. Так как нужно узнать: где находится основание высоты пирамиды.

 

Пусть SO - высота пирамиды. АВС - треугольник в основании пирамиды. Рассмотрим 3 треугольника SOA, SOB, SOC. Все эти треугольники прямоугольные. Так как SO перпендикулярно плоскости основания, а значит перпендикулярно любой прямой в плоскости основания. Далее, SO - общий катет этих прямоугольных треугольников. SA=SB=SC=8 - по условию задачи. Значит эти треугольники равны по катету и гипотенузе. Поэтому другие катеты равны тоже между собой OA=OB=OC. Точка О - является центром описанной окружности. Так как расстояние от точки до любой вершины треугольника АВС одно и то же. Найти радиус описанной окружности можно по разным формулам. Можно воспользоваться следующей формулой

 

R=\frac{abc}{4S}\quad(*)

 

Здесь a, b, и c - стороны треугольника АВС.

 

Две стороны нам известны. Надо найти третью сторону треугольника АВС.

 

Найдем ее по теореме косинусов

 

c^2=a^2+b^2-2*a*b*\sin 30^\circ

 

c^2=11^2+(3\sqrt{3})^2-2*11*3\sqrt{3}*\cos 30^\circ

 

c^2=121+27-2*11*3\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{2}

 

c^2=121+27-11*3\sqrt{3}*\sqrt{3}

 

c^2=121+27-11*3*3

 

c^2=121+27-99

 

c^2=22+27

 

c^2=49

 

c^2=7^2

 

c=7

 

Значит третья сторона треугольника равна 7.

 

Подставляем в формулу (*)

 

R=\frac{3\sqrt{3}*11*7}{4\frac{33\sqrt{3}}{4}}

 

R=\frac{3\sqrt{3}*11*7}{33\sqrt{3}}

 

R=\frac{3*11*7}{33}

 

R=7

 

Нашли катет прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, боковым ребром и стороной, лежащей в основании пирамиды.

 

Теперь нам известны гипотенуза прямоугольного треугольника (это боковое ребро пирамиды 8), катет (это радиус описанной окружности треугольника АВС, 7). Осталось найти другой катет (высоту пирамиды). По теореме Пифагора

 

h^2=8^2-7^2

 

h^2=64-49

 

h^2=15

 

h=\sqrt{15}

 

Подставим известные значения в формулу (**)

 

V=\frac{1}{3}*\frac{33\sqrt{3}}{4}*\sqrt{15}

 

V=\frac{11\sqrt{3}}{4}*\sqrt{15}

 

V=\frac{11\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{5}}{4}

 

V=\frac{33\sqrt{5}}{4}

 

Ответ:

 

V=\frac{33\sqrt{5}}{4}