найти производную функции: y=(tgx-sinx)/x^3 найти первообразную функции y=1/(cosx-1)

2

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2013-06-30T22:51:16+04:00

 f(x) = \frac{tgx-sinx}{x^3}

 

 f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}    

 

\frac {d}{dx} \frac {g(x)}{h(x)} = \frac {\frac d{dx} g(x) \cdot h(x) - \frac d{dx} h(x) \cdot g(x)}{(h(x))^2}

 

g(x) ={tgx-sinx}     h(x)={x^3}

 

\frac d{dx} g(x) =\frac d{dx}tgx- \frac d{dx}sinx = \frac 1 {cos^2 x} - cosx

 

\frac d{dx} h(x) = \frac d{dx} x^3 =3x^2

 

\frac {d}{dx} f(x) = \frac {(\frac 1 {cos^2 x} - cosx) \cdot x^3 - 3x^2 \cdot (tgx - sinx))}{(x^3)^2} =

 

\frac {x^3 (\frac 1 {cos^2 x} - cosx) - 3x^2 \cdot (tgx - sinx))}{x^6} =

 

\frac {x (\frac 1 {cos^2 x} - cosx) - 3 (tgx - sinx))}{x^4}

 

если ползуете функцей секанс :   \frac 1 {cos^2 x} = sec^2 x

 

\frac {x (sec^2 x - cosx) - 3 (tgx - sinx))}{x^4}

 

------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------------------------------

\int \frac 1{cosx-1} dx

 

u =tg \frac x2               du = \frac {sec^2(\frac x2) dx }{2}

 

sin x = \frac {2u}{1 +u^2}                cos x =\frac {1-u^2}{1+u^2}

 

\int \frac 2{ (1+u^2)(-1+\frac {1-u^2}{1+u^2})} du = \int -\frac 1{u^2} du= \frac1 u + C=

 

 \frac1 {tg \frac x2} + C = ctg \frac x 2 +C