Будет ли отношением эквивалентности на множестве действительных чисел отношение xry, задаваемое равенством x ^2 – y^2 = 0? почему?

1

Ответы и объяснения

2013-06-19T18:30:37+04:00

Равенство  x ^2 – y^2 = 0 можно преобразовать так:  x ^2 = y^2. 

Чтобы проверить, является ли данное отношение отношением эквивалентности, надо проверить свойства: 1) рефлексивности; 2) симметричности; 3) транзитивности:

1) так как любое число из множества действительных чисел возведенное в квадрат будет равен квадрату этого же числа, то отношение обладает рефлексивностью (х^2 = x^2)

2) Если для произвольно взятых двух чисел из множества действительных чисел из выполнимости равенства x^2 = y^2, выполняется равенство  y^2 = x^2. Значит выполняется симметричность.

3) Так как из того что  для любых трех чисел из множества действительных чисел выполнятся  x^2 = y^2,  y^2 = z^2 следует что x^2 = z^2 то это означает, что выполняется транзитивность.

Из этого делаем вывод, что заданное равенством  x ^2 – y^2 = 0 отношение является отношением эквивалентности.