В ящике лежат 6 красных и 12 зеленых шаров, одинаковых на ощупь. На удачу вынимают 4 шара. Какова вероятность того, что хотя бы 3 из них одного цвета?

1

Ответы и объяснения

  • Участник Знаний
2013-06-12T12:08:47+04:00

Разберем задачу подробно.

всего шаров 18

красных    6

зеленых  12

красный обозначим к

зеленый - з

Вынуть 4 шара = вынимать шары по очереди, например, кзкк (красный-зеленый-красный красный)

Заметим, что если мы вынимаем один шар какого-то цвета, то уменьшается общее число оставшихся шаров и уменьшается число шаров этого цвета, которое мы можем вынуть, т.е.

если мы вынули первым красный шар (вероятность этого события=6/18), то вероятность вынуть вторым красный (того же цвета) шар=5/17 =(6-1)/(18-1), а вероятность вынуть вторым зеленый (другого цвета!) шар=12/17 =(12)/(18-1).

 

В задаче нас устроят следующие варианты выбора шаров

1) 4 красных P(кккк)=(6/18)*(5/17)*(4/16)*(3/15)=(6*5*4*3)/(18*17*16*15)

2) 4 зеленых P(зззз)=(12/18)*(11/17)*(10/16)*(9/15)=(12*11*10*9)/(18*17*16*15)

 

3) 3 красных (4 способа):

Р(зккк)=(12/18)*(6/17)*(5/16)*(4/15)=(12*6*5*4)/(18*17*16*15)

Р(кзкк)=(6/18)*(12/17)*(5/16)*(4/15)=(12*6*5*4)/(18*17*16*15)

Р(ккзк)=(6/18)*(5/17)*(12/16)*(4/15)=(12*6*5*4)/(18*17*16*15)

Р(кккз)=(6/18)*(5/17)*(4/16)*(12/15)=(12*6*5*4)/(18*17*16*15)

 

Заметим, что Р(зккк)=Р(кзкк)=Р(ккзк)=Р(кккз)

(это можно строго доказать, воспользовавшись соответствующими формулами теории вероятностей, но это я оставлю вам для самостоятельной работы)

 

Т.к. нас устроит любой из этих способов (ИЛИ-ИЛИ), то вероятности надо сложить

Р3к=Р(зккк)+Р(кзкк)+Р(ккзк)+Р(кккз)=4*Р(зккк)=(4*12*6*5*4)/(18*17*16*15)

 

4) 3 зеленых (4 способа):

Р(кззз)=(6/18)*(12/17)*(11/16)*(10/15)=(6*12*11*10)/(18*17*16*15)

Р(зкзз)=(12/18)*(6/17)*(11/16)*(10/15)=(6*12*11*10)/(18*17*16*15)

Р(ззкз)=(12/18)*(11/17)*(6/16)*(10/15)=(6*12*11*10)/(18*17*16*15)

Р(кззз)=(12/18)*(11/17)*(10/16)*(6/15)=(6*12*11*10)/(18*17*16*15)

 

и так как вероятности всех 4 способов равны, то

Р3з=4*Р(кззз)=(4*6*12*11*10)/(18*17*16*15)

 

И наконец,

сложим вероятности всех вариантов 1), 2), 3), 4)

Р=P(кккк)+P(зззз)+Р3к+Р3з

 

Р=(6*5*4*3+12*11*10*9+4*12*6*5*4+4*6*12*11*10)/(18*17*16*15)=

  = (360+11880+5760+31680)/73440=49880/73440=4988/7344=0,67919...

 

ответ:Р =4988/7344=0,67919...