Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=x^2+8x+16, прямыми x=-2 и осями координат

1

Ответы и объяснения

2013-06-09T17:55:31+04:00

Тут даже рисунок строить не надо, всё и так понятно. Фигура ограничена прямой x = -2 и x = 0 - ось OY. Это будут пределы интегрирования. Для начала найдём первообразную функции, чтоб не переписывать в решение. -2 - нижний предел, 0 - верхний 

F(x) = F(x^2 + 8x + 16) = \frac{x^3}{3} + \frac{8x^2}{2} + 16x = \frac{x^3}{3} + 4x^2 + 16xКонстанту приписывать не стал, не пригодится. Теперь можно переходить к решению. 
Площадь фигуры, ограниченной каким-либо графиком функции находится по формуле

\int\limits^b_a {f(x)} \, dx 
Теперь просто подставляем значения. -2 не прописывается, напишу вместо нижнего предела просто a. Надеюсь поймёшь.

S = \int\limits^0_a ({x^2 + 8x + 16}) \, dx = F(b) - F(a) = F(0) - F(-2) =(\frac{0^3}{3} + 4 * 0^2 + 16 * 0) - (-\frac{2^3}{3} + 4 * -2^2 + 16 * -2) = 0 - (-\frac{8}{3} + 16 - 32) = \frac{8}{3} - 16 + 32 = \frac{8}{3} + 16 = 16\frac{8}{3} = 18\frac{2}{3} ед^2