Доказать методом математической индукции, что для любого натурального n выполняется равенство:

1+2+3+...+n=(n(n+1))/2

2

Ответы и объяснения

2013-06-05T17:39:57+04:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.

Докажем для начало  просто зафиксируем что база наша верно то есть подставим 

1+2=2*3/2

  верно

теперь  докажем   что она верна для n+1 то есть  индуктивный переход  подставим 

1+2+n..+n+1=(n+1)(n+2)/2

она должна равняться   выражения стоящему  справа

докажем ,  так как сумма до этого вычислялась рекурентно n(n+1)/2 +n+1 так как перешли    ->  

(n(n+1))/ 2+n+1=n^2+n+2n+2/2=n^2+3n+2/2=(n+1)(n+2)/2  что т требовалось  доказать!!!

 

Лучший Ответ!
2013-06-05T17:52:58+04:00

Рассмотрим для n=2: \frac{n\cdot(n+1)}{2}=\frac{2\cdot(2+1)}{2}=\frac{6}{2}=3=1+2

Т.е. мы проверили, что есть n для которого это верно.

Теперь посчитаем ту же формулу для n+1. Получается:

\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{2(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)

\frac{(n+1)\cdot((n+1)+1)}{2}=(1+...+n) + (n+1)

Если теперь подставить в формулу m=n+1, то получаем:

\frac{m\cdot(m+1)}{2}=1+...+m

Ч.т.д.