Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

8x^{6}-(3x+5a)^{3}+2x^{2}-3x=5a

имеет более одного корня.

2

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2013-06-02T09:21:32+00:00

Уравнение здесь имеет вид u3+u=v3+v, где u=2x2, v=3x+5a. От него можно перейти к равносильному равенству u=v по следующей причине. Функция f(u)=u3+u имеет производную f′(u)=3u2+1, которая всюду положительна. Поэтому f(u) строго монотонно возрастает на всей области определения. Поэтому её значения в различных точках не могут совпадать. Таким образом, мы приходим к равносильному условию u=v, а это квадратное уравнение 2x2−3x−5a=0. Находим дискриминант, и пишем, что он положителен: в этом и только в этом случае уравнение будет иметь более одного корня.

2013-06-02T13:34:15+00:00

8x^6+2x^2 = (3x+5)^3+3x+5a

2x^2-3x+5a=0

D= 9+40a

D>0 (т.к. решений должно быть больше 1-го) => 9+40a>0

 

a> - 9/40