дана бесконечная арифметическая прогрессия, первый член которой равен 2013, а разность равна 8. Каждый член прогрессии заменили суммой его цифр. С полученной последовательностью поступили также и действовали так до тех пор, пока не получилась последовательность однозначных чисел.

а) Найдите тысячное число получившейся последовательности.

б) Найдите сумму первой тысячи чисел получившейся последовательности.

в) Чему может равняться наименьшая сумма 1010 чисел получившейся последовательности, идущих подряд?

2

Ответы и объяснения

2013-06-01T16:22:45+00:00

а) тысячный член исходной прогрессии равен 2013+8*1000=10013

1+0+0+1+3=5



б) Теорема. Сумма цифр числа дает такой же остаток от деления на 9, что и само число.



Следствие. Последовательность, получившаяся в задании, состоит из остатков от деления на 9 членов исходной прогрессии, в которой все нули заменены девятками.



2013 mod 9=6 первый член прогрессии 6

8 mod 9 = 8 поэтому второй член прогрессии (6+8) mod 9 = 5, третий (5+8) mod 9=4, четвертый - 3, пятый - 2, шестой - 1, седьмой (1+8) mod 9= 0 поэтому 9 , восьмой- 8, девятый - 7, десятый опять 6

Итак, последовательность периодична с периодом 9. Сумма первых 9 членов равна 6+5+4+3+2+1+9+8+7=45

сумма первых 999 (111*9) членов равна 111*45= 4995, а сумма 1000 членов равна сумме 999 членов + A1(тоесть 6) = 5001

в) т.к. 1010/9=112 , а 1010 mod 9=2 , то сумма любых подряд идущих членов равна 112*45 + сумма следующих двух членов. Для того ,чтобы сумма была наибольшей нужно, чтобы 9 и 8 попали в эту двойку.

получается 112*45+9+8 =5057



а) 5, б)5001, в)5057

2013-06-01T18:51:00+00:00

в пункте а) вроде формула числа прогресии 

a(n)=a1-d(n-1) 

так что выходит a(1000)= 2013+8*999 = 10005 

значит тысячное чилос последовательности 6 а не 5

 

неочень понял как вы объяснили пункт в)

наименьшая сумма 1010

 1008 делится на 9 = 112 значит сумма первых 1008 чисел в любом случае будет равняться  

112*45=5040

нужно добавить еще два числа, и чтобы последовательность была наименьшей, это должно быть 1 и 2. 

выходит у меня 5043.