Ответы и объяснения

2013-05-31T10:38:26+00:00

2^(x²+|x|)*3^(-|x|)<=1.

Раскроем модуль по известному правилу: 

1) |x|=x, если x>=0,

2) |x|=-x, если x<0.

 

1) Рассмотрим первый случай, если x>=0.

     2^(x²+x)*3^(-x) <= 1,

     Далее преобразуем выражение:

    2^(x²+x) <= 1/(3^(-x)),

    2^(x²+x) <= 3^(x),

    Теперь возьмем от обеих частей неравенства логарифм по основанию 2 и  

    преобразуем.

    log₂2^(x²+x) <= log₂3^(x),

    (x²+x)*log₂2 <= x*log₂3,

    x²+x <= x*log₂3,

    x²+x-x*log₂3 <= 0,

    x*(x+1-log₂3) <= 0.              (1)

    Решаем неравенство (1) методом интервалов.

    x*(x+1-log₂3) = 0,

    x=0  или  x+1-log₂3=0,

                     x=log₂3-1.      Т.к. log₂3>1, то log₂3-1>0.

   Рисуем числовую прямую и обозначаем на ней найденные корни.

  

    ____+____._______-________.____+_____>

                        0                              (log₂3-1)

  Согласно неравенству (1) нас удовлетворяет промежуток [0;(log₂3-1)].

  Решение [0;(log₂3-1)].         (2)

 

2) Рассмотрим первый случай, если x<0.

      2^(x²-x)*3^(x) <= 1,

      2^(x²-x) <= 1/(3^(x)),

      2^(x²-x) <= 3^(-x),

     Теперь возьмем от обеих частей неравенства логарифм по основанию 2 и  

     преобразуем.

     log₂2^(x²-x) <= log₂3^(-x),

     (x²-x)*log₂2 <= (-x)*log₂3,

     x²-x+x*log₂3 <= 0,

     x*(x-1+log₂3) <= 0.              (3)

     Решаем неравенство (3) методом интервалов.

     x*(x-1+log₂3) = 0,

     x=0  или  x-1+log₂3=0,

                     x=1-log₂3.     Т.к. log₂3>1, то 1-log₂3<0.

     Рисуем числовую прямую и обозначаем на ней найденные корни.

  

    ____+____._______-________.____+_____>

                  (1-log₂3)                            0

 

    Согласно неравенству (3) нас удовлетворяет промежуток .

    Решение        (4).

    Т.к. ноль включается в промежуток (2) и в  промежуток (4), то можно объединить    промежутки.

    Тогда, получаем окончательный ответ:

    [(1-log₂3);(log₂3-1)],

    или визуально более удобно

    [-(log₂3-1);(log₂3-1)].