Через середину K медианы B M треугольника A BC и вершину A проведена прямая , пересекающая сторону B C в точке P . Найдите отношение площади треугольника A BK к площади четырёхугольника K PCM

1

Ответы и объяснения

2013-05-27T18:03:46+00:00

Пусть S - площадь тр АВС

Пл АВМ = пл СВМ =  1/2  S так как медиана делит треуг на равновеликие 

В треуг МАВ отрезок АК - тоже медиана т.к. К - середина ВМ

тогда 

Пл  АВК = пл МАК =  1/2 пл АВМ = 1/2 * 1/2  * S = 1/4 S

Пл КРСМ = Пл ВСМ - пл ВРК

КР = 1/4 АР ( это очевидно если провести среднюю линии через М параллельно СВ т.к. средняя линия делит АР пополам, а К середина ВМ то К делит половину АР тоже пополам)

Тогда площадь ВКР / площадь ВАК  = 1/3  (так как у них общая высота а основания КР/КА = 1/3 ) 

Тогда пл ВКР = 1/3 * пл АВК = 1/3 * 1/4  * S = 1/12 * S

Тогда  Пл КРСМ = Пл ВСМ - пл ВРК =  1/2 * S - 1/12 * S = 5/12 * S

Теперь можно найти отношение площади   треугольника   ABK   к   площади   четырёхугольника   KPCM = ( 1/4* S  ) /  (5/12 * S) = 3/5

 

Ответ 3/5