Через середину К медианы BM треугольника АВС и вершину А проведена прямая,пересекающая сторону ВС в точке Р.Найдите отношение площади тругольника ВКР к площади АМК.

1

Ответы и объяснения

2013-05-24T22:07:44+04:00

Угол BKP = углу AKM - как вертикальные, следовательно, площади треугольников относятся как произведения сторон, содержащие равные углы.

\frac{S AKM}{S BKP} = \frac{AK * KM}{BK*KP}

так как BK = KM - по условию, то \frac{S AKM}{S BKP} = \frac{AK}{KP}

Далее доп.построение: KL || AC (см. рисунок)

тр. BKL подобен тр. BMC по стороне BK:BM = 1:2, угол B - общий, угол BKL = ВМС - по построению

Следовательно:\frac{KL}{MC}=\frac{BK}{BM}=\frac{1}{2}

Дальше, рассмотрим еще пару подобных треугольников:

тр. KPL и APC - подобны по трем углам

Нас интересует соотношение \frac{KL}{AC} = \frac{KP}{AP}

 

так как AC = 2*MC, получаем \frac{KL}{AC} = \frac{KP}{AP}=\frac{1}{4}

KP - 1 часть, AP - 4 части, след-но AK = AP - KP = 3 части

Значит, \frac{KP}{AK} = \frac{1}{3}

И \frac{S AKM}{S BKP} = \frac{3}{1} = 3