найдите наибольшее и наименьшее значения функции.. 1/3cos3x, с промежутком[0;П/2]

2

Ответы и объяснения

2013-05-24T19:08:49+04:00

y=(1/3)*cos(3x)

y’ = (1/3)*(-sin(3x)*3=-sin(3x)

y’=0

-sin(3x)=0

sin(3x)=0

3x=pi*n

x=pi*n/3

на промежутке [0;п/2] находятся корни 0 и pi/3

при x=0- функция принимает максимум

при x=pi/3 – функция принимает минимум

2013-05-24T19:26:43+04:00

Производная:

f'(x)=\frac{(1)'(3cos3x)-(1)*(3cos3x)'}{(3cos3x)^2}=\frac{0-(3*(-sin3x*(3x)'))}{(3cos3x)^2}=\frac{9sin3x}{9cos^23x}=\\=\frac{sin3x}{cos^23x}

 Критические точки(f'(x)=0):

 \frac{sin3x}{cos^23x}=0\ \ \ \ \ \ \ |*cos^23x\neq0\\sin3x=0\\3x=\pi*n\\x=\frac{\pi*n}{3}

n=0,x=0 

n=1,x=pi/3

Только эти два корня входят в промежуток.

Ищем значения функции в точка 0;pi/3;pi/2 

f(0)=\frac{1}{3cos(3*0)}=\frac{1}{3*1}=\frac{1}{3}\\f(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{3cos(\frac{3*\pi}{3})}=\frac{1}{3cos\pi}=\frac{1}{3*(-1)}=-\frac{1}{3}\\f(\frac{\pi}{2})=\frac{1}{3cos(\frac{3*\pi}{2})}=\frac{1}{3*0}\\f_{max}=\frac{1}{3}\\f_{min}=-\frac{1}{3}