Диаметр АВ и хорда СД окружности, длина радиуса которой равна 4 см, пересекаются под прямым углом. Вычислите длину хорды СД, если САД=60 градусов

1

Ответы и объяснения

2013-05-24T00:02:38+04:00

Пусть АВ и СД пересекаются в точке К, а т.О - центр окружности. Треугольники ОСК и ОДК равны, т.к. ОК - общая сторона, ОС=ОД=радиус, ОКС=ОКД=90 градусов. Тогда треугольники АСК и АДК тоже равны, т.к. АК - общая сторона, углы АКС=АКД=90, КС=КД. Значит угол С = угол Д = (180-САД)/2 = (180-60)/2 = 60. Т.е. треугольник АСД - равносторонний. Значит т.О не только пересечение серединных перпендикуляров, но и пересечение медиан и биссектрис. Опустим перпендикуляр ОМ из т.О на сторону АС.  Рассмотрим треугольник АМО: АМ=АС/2, угол МАО=САД/2=30. Тогда ОМ = АО/2=2 (как катет лежащий против угла в 30 градусов). АМ^2=AO^2-OM^2=4^2-2^2=16-4=4. АМ=2. СД=АС=2АМ=2*2=4