Докажите что сумма 2 любых последовательных степеней числа 7 делится на 56

2

Ответы и объяснения

2013-05-23T09:51:33+04:00

 

 

7n + 7n + 1 = 7n(1 + 7) = 7n×8 делится на 7 и на 8, следовательно, делится на 56.

  • Voxman
  • главный мозг
2013-05-23T10:06:09+04:00

 

Докажите что сумма 7^n + 7^{n+1} делится на 56, при n \geq 1.

 

Докажем по индукции:

 

База индукции: n = 1, 7 + 7^2 = 56 

 

Индукционное предположение:  Пусть 7^k + 7^{k+1} делится на 56

 

Шаг индукции: Покажем, что 7^{k+1} + 7^{k+2} делится на 56.

 

Действтельно, 7^{k+1} + 7^{k+2} = 7^{k+1} + 7^{(k+1) + 1} = 7^k*7 + 7^{k+1}*7 = 7(7^k + 7^{k+1})

 

Утверждение 1: Если a делится на b, то и a*c делится на b.

 

В силу Утверждения 1, так как 7^k + 7^{k+1} делится на 56, то и 7^{k+1} + 7^{k+2} делится на 56.

 

Вывод: Сумма 7^n + 7^{n+1} делится на 56, при n \geq 1.