Найдите на меньшее значение функции y=cos^2x-cosx+2 на отрезке [3пи:2; 5пи:2]

1

Ответы и объяснения

2013-05-22T21:07:22+04:00

дробь ровна 0 когда числитель равен нулю а знаменатель при это не теряет смысла:

1) 6cos^2x+cosx-2=0

cosx=t, t принадлежит [ -1; 1]

6t^2+t-2=0

D=1+48=7^2

t=1/2

t=-2/3

 

cosx=1/2

x=+-pi/3+2pi*n, n принадлежит Z

 

cosx=-2/3

x=+-(pi-arccos2/3)+2pi*n, n принадлежит Z

 

2) (3cosx+2)*корень из -tgx=0

3cosx+2=0

cosx=-2/3

x=+-(pi-arccos2/3)+2pi*n, n принадлежит Z

 

корень из -tgx=0

tgx=0

x=pi*n, n принадлежит Z

 

далее проверяем корни на отрезке, для этого подставляем каждый поочереди:

1) pi<=pi/3+2pi*n<=3pi/2   

умножаем всё на 6

6pi<=2pi+12pi*n<=9pi

переносим 2pi*n

4pi<=12pi*n<=7pi

делим все на 12pi

4/12<=n<=7/12

корней нет

 

2) pi<=-pi/3+2pi*n<=3pi/2

умножаем все на 6

6pi<=-2pi+12pi*n<=9pi

переносим -2pi

8pi<=12pi*n<=11pi

делим на 12pi

8/12<=n<=11/12

корней нет

 

теперь проверяем корни с arccos. для того что бы увидеть какие n могут быть нам можно вообще не обращать внимания на этот арк. а так как pi примерно равно 3, мы просто посчитаем. то есть:

3) pi<=pi-arccos2/3+2pi*n<=3pi/2

умножаем все на 2

2pi<=2pi-2arccos2/3+4pi*n<=3pi

переносим 2pi-2arccos2/3

2arccos2/3<=4pi*n<=pi+2arccos2/3

делим на 4pi

2/4pi*arccos2/3<=n<=1/4+2/4pi*arccos2/3

считаем примерно значения

2/6<=n<=1/4+2/6

2/6<=n<=14/24

корней нет

 

4) pi<=-pi+arccos2/3<=3pi/2

умножаем на 2

2pi<=-2pi+2arccos2/3+4pi*n<=3pi

переносим -2pi+2arccos2/3

4pi-2arccos2/3<=4pi*n<=5pi-2arccos2/3

делим на 4pi

1-2/4pi*arccos2/3<=n<=5/4-2/4pi*arccos2/3

считаем применое значение

1-2/12<=n<=5/4-2/12

10/12<=n<=13/12

n=1

получается корень

-pi+arccos2/3+2pi

 

5) pi<=pi*n<=3pi/2

умножаем на 2

2pi<=2pi*n<=3pi

делин на 2pi

1<=n<=3/2

n=1

получается корень pi