Через точку А, окружности радиусом 10 проведены две хорды АВ и АС, так что угол ВАС =90 градусов, АС=12. Найти длину окружности, касающейся данной окружности и посторенных хорд.

2

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2013-05-19T19:26:07+04:00

Пусть O1 — центр искомой окружности, — её радиус, M и N — точки касания с хордами AB и AC, O — центр данной окружности, K — середина AB.

Из прямоугольного треугольника ABC находим, что AВ = 16. Тогда OK = 6, AM = AN = x, а стороны прямоугольной трапеции OO1MK равны:

MK = | 8 - x|, MO1 = x, OK = 6, OO1 = 10 - x. 

По теореме Пифагора

(6 - x)2 + (8 - x)2 = (10 - x)2.

 

Отсюда находим, что x = 8.

  • Hrisula
  • Ведущий Модератор
2013-05-19T19:52:20+04:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.

 

Через точку А окружности радиусом 10 проведены две хорды АВ и АС,
так что угол ВАС =90°, АС=12.
Найти длину окружности, касающейся данной окружности и посторенных хорд.

---------------------------------

Так как угол ВАС -90°, треугольник АВС - прямоугольный, его гипотенуза ВС - диаметр окружности, и равна 2r=20, так как центром описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности является середина его гипотенузы.


Третья сторона АВ этого треугольника равна 16  ( треугольник египетский с отношением сторон 3:4:5, можно проверить по т. Пифагора).


Проведем из вершины угла В прямую, параллельную АС. 
Из  вершины С проведем касательную СМ к внутренней окружности
Получена прямоугольная трапеция АВМС с вписанной окружностью, диаметр которой равен АВ, так как диаметр вписанной окружности в трапецию равен высоте трапеции, а АВ перпендикулярна основаниям трапеции и является ее высотой. 


Так как диаметр меньшей окружности равен 16, ее радиус равен
r=16:2=8
а длина окружности
С=2πr =16 π