Ответы и объяснения

  • nomathpls
  • почетный грамотей
2013-05-15T20:14:39+04:00

Сделаем замену переменной. Пусть t=x^{2}-7x+16. Тогда перепишем уравнение:

6\sqrt{t}=t+8. Возведем обе части в квадрат.
36t=t^{2}+16t+64
t^{2}-20t+64=0 - квадратное уравнение. Его корни: t=4 и t=16
Сделаем обратную замену.

1)x^{2}-7x+16=4
x^{2}-7x+12=0. Корни этого уравнения: x_{1}=4 и x_{2}=3 - по теореме Виета.

2)x^{2}-7x+16=16
x^{2}-7x=0

x(x-7)=0. Корни: x_{3}=0 и x_{4}=7. Теперь осталось проверить, входят ли данные корни в ОДЗ выражения с корнем.

x^{2}-7x+16\geq 0. Введем функцию: y=x^{2}-7x+16. D=49-64<0, значит функция не имеет нулей, и, т.к. ветви параболы направлены вверх, то график целиком расположен выше оси абсцисс и принимает только положительные значения. То есть, каждый полученный х будет решением исходного уравнения.

Ответ: x_{1}=4, x_{2}=3, x_{3}=0, x_{4}=7 - четыре корня.