Ответы и объяснения

2013-05-14T21:25:22+04:00

Применим тождество COS (3X ) = 4 * [ COS ( X ) ] ^ 3 -3* COS ( X ) 

SIN ( X ) + 4 * [ COS ( X ) ] ^ 3 - 3* COS ( X ) = 0 

Проведя тождественные преобразования , получим : 

SIN ( X ) + COS ( X ) * {1 – 4 * [SIN ( X ) ] ^2} = 0 

Разделим почленно данное выражение на COS ( X ) ≠ 0 , получим : 

tan (X ) +1 – 4 * [SIN ( X ) ] ^2 = 0 

Применим тождество [SIN ( X ) ] ^2 = [tan (X ) ]^2 / { 1+ [tan (X ) ]^2 } 

Получим : tan (X ) +1 .- 4 * [tan (X ) ]^2 / { 1+ [tan (X ) ]^2 } = 0 

Обозначим tan (X ) через Y. Тогда будем иметь : 

Y +1 – ( 4 * Y ^2 ) / ( 1 + Y ^2 ) = 0 или Y +1 = ( 4 * Y ^2 ) / ( 1 + Y ^2 ) 

Умножим обе части на ( 1 + Y ^2 ) ≠ 0 , тогда будем иметь 

Y^3 – 3 * Y^2 + Y +1 = 0 

Методом подбора найдём корень Y1 = 1 

Разделив Y^3 – 3 * Y^2 + Y +1 на Y – 1 будем иметь : 

Y^3 – 3 * Y^2 + Y +1 = ( Y – 1 ) * ( Y ^2 – 2 * Y – 1 ) 

Решая уравнение ( Y – 1 ) * ( Y ^2 – 2 * Y – 1 ) = 0 

Получим : Y1 = 1 ; Y2 = 1 – sgrt (2 ) ; Y3 = 1 + sgrt (2 ) 

Перейдя к обратной подстановке , получим : 

X1 = Пi / 4 + k*Пi ; 

X2 = arctan( 1 - sgrt(2)) + n* Пi 

X3 = arctan( 1 + sgrt(2)) + m* Пi