В трапеции основания равны 12 и 24, а боковые ребра равны 10. В каждой из углов трапеции вписана окружность радиуса 1. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются центры этих окружностей.

1

Ответы и объяснения

2013-05-13T15:46:13+04:00

Исследуемый четырехугольник - трапеция, подобная данной. Площади подобных фигур относятся друг к другу как квадраты их линейных размеров.

Высота данной трапеции равна sqrt[((24 - 12)/2)^2 + 10^2] = 8.

Площадь данной трапеции равна (12 + 24)*8/2 = 144.

 

Радиусы вписанных окружностей равны 1, в высоте их вмещается два. Следовательно, высота искомой трапеции равна 8 - 1 - 1 = 6. Высоты этих трапеций относятся как 6/8 = 3/4. Значит, площади трапеций будут относиться друг к другу как 9/16.

 

И площадь искомого четырехугольника будет равна 144*9/16 = 81.

 

Ответ: 81.