Медианы боковых сторон равнобедренного треугольника пересекаются под углом 60°. Найдите угол при вершине треугольника.

1

Ответы и объяснения

2013-05-12T22:11:01+04:00

Поскольку в пересечении медиан образуется две пары вертикальных углов, каждая из которых может состоять из углов равных 60 градусам, то есть 2 решения, ответы в каждом из них будут разные. Я опишу один вариант, второй решается аналогично

 

Треугольник АНС = треугольнику АМС (по трем сторонам: АН=МС (АМ и НС медианы, проведённые к боковым сторонам), АС общая сторона, НС=АМ).

угол НОМ = углу АОС = (180 -60*2)/2 = 120 градусов( вертикальные углы)

угол МАС = углу НСА = (180 -120)/2= 30 градусов (соответственные углы равных треугольников, а сумма углов треугольника ровна 180 градусов)

Проведем среднюю линию НМ.

Треугольник НМО подобен треугольнику АОС ( угол НОМ = углу АОС (вертикальные углы), а угол НМА = углу МАС (соответственные углы))

Найдем коэффициент подобия к (отношение соответственных сторон подобных треугольников)

к= НМ/АС=2 (средняя линия в 2 раза меньше основания треугольника)

Если к=2, то  АО/ОМ=2/1.

Проведем в треугольнике НМО высоту ОТ ,также она будет являться биссектрисой(НМО- равнобедренный), значит угол ТОМ = 120/2=60 градусов.

ТОМ = 1/ 2 НО (напротив угла в 30 градусов лежит катет в 2 раза меньше гипотенузы)

Треугольник АНО подобен треугольнику ТОМ (ТО/НО=1/ 2, ОМ/АО=1/2, угол ТОМ = углу НОА=  60 градусов)

НАО= углу ТМО = 30 градусов (в  подобных треугольниках  соответственные углы равные)

Угол ВСА = углу ВАС = угол НАО+ угол ОАС = 30+30=60 градусов

Угол АВС = 180-60*2=60 градусов