Применение метода поиска наибольшего и наименьшего значений функции через производную к решению прикладных задач:

1) Из всех прямоугольников с площадью 25 (см в кв.) найдите прямоугольник с наименьшим периметром.

2) Из всех прямоугольников с диагональю 18 см найдите прямоугольник наибольшей площади.

2

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2013-05-10T00:06:14+04:00

1) Пусть длина прямоугольника х см, тогда ширина 25/х  см (так как S = xy). Тогда

периметр P(x) = 2x + (50/x). Найдем точку минимума этой функции.

y' = 2 - (50/a^2) =0.  (2a^2 - 50)/a^2=0,   a не= 0,  a = +-5.  Теперь на числовой прямой надо нанести полученные значения х. Сверху расставить знаки производной, а внизу поведение функции: возрастание, где знак минус;  убывание, где знак плюс. Так как стороны могут быть только >0, то минимум получим в точке х = 5 - это длина, а ширина 25/5=5, т.е. наименьший периметр будет у квадрата со стороной 5 см 

2) Решение аналогично. Только если длина х, то ширина по теореме Пифагора равна

sqrt(324 - x^2). Дальше составляем формулу площади и аналогично заданию 1) находим прямоугольник наибольшей площади

2013-05-10T00:07:29+04:00

 

s = ab отсюда имеем а и b = s/a = 25/a

P = 2(a+b) = 2 ( a+25/a)

P(штрих) = 2-50/a² =0      2a²=50   a²=25    a=5. b=25/5=5

Находим Р = 2(5+5) = 20 - наим.периметр