В правильном тетраэдре точка Е - пересечение медиан треугольника bcd. Найдите косинус угла между ab и плоскостью abc и косинус угла между ae и плоскостью abc

1

Ответы и объяснения

2013-05-09T15:47:17+04:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.

Между ab и abc угол равен 0 (ab лежит в плоскости abc). Вот найти угол (обозначу его Ф) между ae и abc - это интересная задача.

Я бы не стал решать эту задачу, если бы у неё не было совершенно фантастической красоты МЕТОДА решения. Так-то её технически ничего не стоит сделать.

Я специально поменяю обозначения. Обычно это признак неквалифицированного подхода, но в данном случае это диктуется методом решения. 

Если автору не понравится способ решения - обратитесь к модератору, он это удалит :))))

 

Итак. Берется КУБ abcda1b1c1d1. Трехмерная фигура с вершинами a1bc1d - тетраэдр (это треугольная пирамида, у которой все грани - равносторонние треугольники).

Поскольку (например) фигура cc1bd - тоже правильная пирамида (хотя и не тетраэдр), то вершина с проектируется на плоскость bdc1 в центр равностороннего треугольника bdc1. Точно так же - в ту же точку - проектируется на плоскость bdc1 и вершина a1 тетраэдра. Получается, что и а1 и с лежат на ОДНОЙ прямой, перпендикулярной bdc1. То есть БОЛЬШАЯ ДИАГОНАЛЬ a1c КУБА abcda1b1c1d1 перпендикулярна плоскости треугольника bdc1 и пересекает её в центре этого треугольника. 

Само собой, все остальные большие диагонали куба тоже перпендикулряны граням тетраэдра a1bc1d, и тоже проходят через центры граней. 

Поэтому :)

Углу Ф соответствует угол между ДИАГОНАЛЬЮ КУБА bd1 и плоскостью bdc1.

Поскольку все диагонали пересекаются в центре куба "о", то искомый угол равен

Ф = 90° - Ф1, где Ф1 - угол между любыми двумя БОЛЬШИМИ ДИАГОНАЛЯМИ КУБА. :)))) (если из центра о, принадлежащего bd1 опустить перендикуляр на bdc1, этот перпендикуляр будет - как я только что доказал - частью диагонали куба a1c, отсюда это и получается). 

На этом можно было бы красоты завершить, и свести задачу к техническому вычислению этого угла. Но можно и добавить красот :))

Дело в том, что расстояние от a1 до плоскости bdc1 в два (в 2) раза больше, чем от c до этой же плоскости. То есть плоскость bdc1 делит a1c в пропорции 2/1, считая от вершины a1. Это очень просто увидеть, если провести плоскость b1d1a, которая параллельна плоскости bdc1 (потому что обе перпендикулярны a1c), и заметить, что отрезок диагонали a1c от a1 до плоскости  b1d1a равен отрезку этой диагонали между плоскостями b1d1a и bdc1. В самом деле, эти плоскости делят отрезок a1c1 пополам, поэтому и любую другую наклонную из точки a1 они делят пополам (теорема Фаллеса :)). Точно так же, отрезку a1c между плоскостями  b1d1a и bdc1 равен и отрезок от с до bdc1, поскольку эти плоскости делят отрезок ac пополам (а, следовательно, и любую другую наклонную из точки с к этим плоскостям). Получились, что диагональ a1c разделена порскостями b1d1a и bdc1три равных отрезка, откуда и следует соотношение длин 2/1. Но это означает, что от центра КУБА до плоскости bdc1 - ровно 1/6 диагонали a1c. С учетом того, что от центра до вершины куба 1/2 диагонали, косинус угла Ф1 между большими диагоналями куба равен 1/3. Само собой, это - синус Ф. 

А косинус - уж найдите сами :)))) (он равен 2√3/3)