окружность, вписанная в треугольник АВС касается стороны ВС в точке К. докажите что СК=p-АВ где р полупериметр треугольника авс

1

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2013-05-06T10:05:10+04:00

))) Интересное задание, сначала не хотел браться, потом "зацепило"...

Смотрим рисунок и вспоминаем свойство касательных:

Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности (вот почему, собственно, центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис...).

Пусть точки М, К и О - точки касания окружности со сторонами АВ, ВС и АС, соответственно.

Из свойства касательных следует, что:

AM=AO, BM=BK, CK=CO

Периметр (пока в рассчётах берём именно периметр Р (большая), а не полупериметр р (малая)):

P=AB+BC+AC, значит

BC=P-(AB+AC)

Так как BC=BK+CK, AB=AM+BM, AC=AO+CO, то:

BK+CK=P-AM-BM-AO-CO

Исходя из вышеприведённых равенств:

AM=AO, BM=BK, CK=CO

Имеем право записать как:

CK=P-AM-BM-AM-CK-BM

2CK=P-2AM-2BM\\2CK=P-2(AM+BM)\\2CK=P-2AB\\CK=\frac{P}{2}-AB\\CK=p-AB

В нижней записи у нас уже фигурирует полупериметр р (малая). ЧТД

Как "Лучшее решение" не забудь отметить, ОК?!.. ;)))