В правильной шестиугольной призме АВСDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны корень из 2 .
Найдите угол между плоскостями BCD1 и ABC1.

1

Ответы и объяснения

  • nelle987
  • Ведущий Модератор
2013-04-30T16:00:21+04:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.

Для упрощения записей буду читать, что все ребра равны единице - все равно углы останутся прежними.

 

Введем ПСК с началом координат в центре нижнего основания (см. рисунок). Будем искать уравнения плоскостей. Уравнения имеют вид Xx+Yy+Zz=D.

Координаты точек:

A(-\frac12,\frac{\sqrt3}2,0);\;C(\frac12,\frac{\sqrt3}2,0); \;B(1,0,0);\;O(0,0,1)

Плоскости a1 принадлежат точки B, C, O; поэтому ее уравнение находится из системы

\begin{cases} X=D\\ \frac12X+\frac{\sqrt3}2Y=D\\ Z=D \end{cases}

Решив систему, получаем уравнение плоскости

\sqrt3x+y+\sqrt3z=\sqrt3

Аналогично, для второй плоскости

x+\sqrt3y+z=1

 

Отсюда получаем вектора нормалей для плоскостей:

\vec{n}_1=(\sqrt3,1,\sqrt3)

\vec{n}_2=(1,\sqrt3,1)

 

По формуле, можно найти косинус угла между плоскостями:

\cos(\alpha_1,\alpha_2)=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}=\dfrac{3\sqrt3}{7\cdot5}=\dfrac{3\sqrt3}{35}

 

Искомый угол - арккосинус.