Ответы и объяснения

2011-04-24T14:22:38+04:00

1. Область определения функции (-бесконечность;3) и (3;бесконечность) 
2. Множество значений функции (-бесконечность2] [10; бесконечность) 
3. Проверим является ли данная функция четной или нечетной: 
у(х) = (x^2-5)/(х-3) 
y(-х) = (x^2-5)/(-х-3) так как у(х) не =у(-х), и у(-х) не=-у(х), то данная функция не является ни четной ни нечетной. 
4. Найдем промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремума. 
y'(x) = (x^2-6x+5)/(x-3)^2; y'(x) = 0 
(x^2-6x+5)/(x-3)^2=0 
x^2-6x+5=0 
х1=5; х2=1. 
Данные стационарные точки и точка разрыва, разбили числовую прямую на 4 промежутка 
Так как на промежутках (1;3) и (3;5) производная отрицательна, то на этих промежутках функция убывает 
Так как на промежутках (-бесконечность;1) и (2;бесконечность) производная положительна, то на этих прмежутках функция возрастает. 
х=5 точка минимума, у(5) = 10 
х=1 точка максимума, у(1) = 2 
5. Найдем точки перегиба функции и промежутки выпуклости: 
y"(x) = 8/(х-3)^3; y"(x)=0 
8/(х-3)^3=0 
уравнение не имеет корней. 
Так как на промежутке (3;бесконечность) вторая производная положительна, то график направлен выпуклостью вниз 
Так ак на промежутке (-бесконечность;3) вторая производная отрицательна то график направлен выпуклостью вверх. 
Точек перегиба функция не имеет. 
6. Проверим имеет ли график функции асмптоты: 
а) вертикальные: Для этого найдем односторонние пределы в точке разрыва х=3 
lim(x стремится к 3 по недостатку)((x^2-5)/(х-3)=-бесконечность 
lim(x стремится к 3 по избытку)((x^2-5)/(х-3)=бесконечность 
Следовательно прямая х=3 является вертикальной асимптотой. 
б) налонные вида у=кх+в: 
к=lim y(x)/x = lim(x стремится к бесконечности)((x^2-5)/(х(х-3))=1 
в = lim (y(x)-kx) = lim ((x^2-5)/(х-3)-х)=lim(3x-5)/(x-3)=3 
Cледовательно прямая у=х+3 является наклонной асимптотой. 
7. Всё! Стройте график. Удачи!!