В треугольнике ABC бессектриса угла А делит высоту , проведённую из вершины В, в отношении 13:12, считая от точки В. Найдите радиус окружности , описанной около треугольника АВС, если ВС=10.

1

Ответы и объяснения

2013-04-27T19:51:29+00:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.

Чтобы решить задачку надо вспомнить расширенную теорему синусов. В данном случае, так как известна сторона ВС, то лучше воспользоваться стороной ВС и углом ВАС. Синус этого угла предстоит вычислить.

 

2R=\frac{BC}{\sin\angle BAC}

 

2R=\frac{10}{\sin\angle BAC}

 

R=\frac{5}{\sin\angle BAC}\quad(1)

 

Пусть ВН - высота, проведенная к стороне АС.

АК - биссектриса угла ВАС, где К - точка пересечения биссектрисы со стороной ВС.

Точка О - пересечение высоты ВН и биссектрисы АК.

Тогда по свойству биссектрисы, делящей ВН в отношении ВО:ОН=12:13,

из прямоугольного треугольника АВН стороны АВ и АН относятся так же друг к другу.

АВ:АН=13:12.

 

Заметим,  что косинус - это отношение прилежащей стороны к гипотенузе. В данном случае

\cos\angle BAH=\frac{AH}{AB}

 

Нетрудно догадаться, что АН:АВ=12:13.

 

\cos\angle BAH=\frac{12}{13}

 

По основному тригонометрическому тождеству

\sin\angle BAH=\pm\sqrt{1-\cos^2\angle BAH}

 

\sin\angle BAH=\pm\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2}

 

\sin\angle BAH=\pm\sqrt{1-\frac{144}{169}}

 

\sin\angle BAH=\pm\sqrt{\frac{169-144}{169}}

 

\sin\angle BAH=\pm\sqrt{\frac{25}{169}}

 

\sin\angle BAH=\pm\frac{5}{13}}

 

Заметим, что

 

\sin\angle BAH=\sin\angle BAC

 

Выбираем положительное значение синуса. Так как угол в треугольнике всегда от 0 до 180 градусов. Подставляем в формулу (1).

R=\frac{5}{\frac{5}{13}}

R=\frac{5*13}{5}

R=13.

 

Ответ: R=13.