250 ПКТ За два задания :4 и 5 с обоснованиями и рисунками !!! (за флуд- бан!)

1

Ответы и объяснения

  • Voxman
  • главный мозг
2013-04-23T23:42:44+00:00

5. В условиях данной задачи, нам достаточно установить, что в точке 0: sinx - xcosx \geq 0 и что при x \in (0; \frac{\pi}{2}) величина sinx - xcosx возрастает (а для этого достаточно проверить, что производная функции больше нуля на всём этом интервале).

 

 

1) \ sin0 = 0, cos0 = 1\\\\ sin0 = 0*cos0 = 0\\\\ sin0 - 0*cos0 = 0

 

 

2) \ sinx > xcosx\\\\ y = sinx - xcosx > 0\\\\ y' = (sinx - xcosx)' = (sinx)' - (xcosx)' =\\\\

 

 cosx - cosx + xsinx = xsinx\\\\ \frac{\pi}{2} > x > 0, \forall x \in (0; \frac{\pi}{2})\\\\ 1 > sinx > 0, \forall x \in (0; \frac{\pi}{2})

 

 \frac{\pi}{2} > xsinx > 0, \forall x \in (0; \frac{\pi}{2})\\\\ \Downarrow\\\\ sinx - xcosx > 0, \forall x \in (0; \frac{\pi}{2})\\\\ sinx > xcosx , \forall x \in (0; \frac{\pi}{2})

 

4.  Дан прямоугольный треугольник ABC (углы A = 30, B = 60 градусам), в него вписан прямоугольник A'B'C'D' так, что его сторона A'B' лежит на гипотенузе AB (которая равна 8 см)

 

Выразим площадь этого прямоугольника через x (A'B'), после чего найдём при каком значении x на интервале (0, 8) площадь принимает наибольшее занчение.

 

8 = AA' + A'B' + B'B = AA' + x + B'B

 

AA' - катет прямоугольного треугольника AA'D'.

 

A'D' = sin30*AD', AD' = \frac{A'D'}{sin30}\\\\ AA' = cos30*AD' = cos30*\frac{A'D'}{sin30} = ctg30*A'D'

 

BB' - катет прямоугольного треугольника BB'C'.

 

C'B' = sin60*C'B, C'B = \frac{C'B'}{sin60}\\\\ B'B = cos60*C'B = cos60*\frac{C'B'}{sin60} = ctg60*C'B'\\\\ 8 = AA' + x + B'B = ctg30*A'D'+x+ctg60*C'B'

 

A'D' = C'B' = y (так как A'B'C'D' - прямоугольник)

 

8 = ctg30*y+x+ctg60*y\\\\ 8 = (ctg30+ctg60)*y+x\\\\ 8-x = (ctg30+ctg60)*y\\\\ y = \frac{8-x}{ctg30+ctg60} = \frac{8-x}{\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{8-x}{\frac{4}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}(8-x)}{4}

 

S(x) = y*x = \frac{\sqrt{3}(8-x)x}{4}\\\\ S'(x) = (\frac{\sqrt{3}(8x-x^2)}{4})' = \frac{\sqrt{3}}{4}(8x - x^2)' = 2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}x\\\\ 2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}x = 0

 

 - \frac{\sqrt{3}}{2}x = -2\sqrt{3}, \ x = 4

 

При x <0, 0 < S'(x), при x > 0, S'(x) < 0, тогда:

 

S(4) = max(S(x)), \ S(4) = \frac{\sqrt{3}(8-4)4}{4} = 4\sqrt{3}

 

 max(S(x))\limits_{x \in (0,8)} = 4\sqrt{3}