Здравствуйте, дорогие друзья :3
очень плохо с точными науками, помогите, пожалуйста т.т
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: y=0.5cos2x+sinx на отрезке [0;П/2]

1

Ответы и объяснения

2013-04-23T15:26:18+00:00

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения нужно прежде всего найти производную функции.

Находим: y' = -sin2x + cos x 

(Почему так? Потому что cox 2x считается сложной функцией: сначала мы находим производную от cos 2x (= -sin 2x), а потом находим производную от аргумента (от 2x), что равняется двум. И перемножаем, то есть 0,5*(-sin 2x)*2  )

Нашли производную, теперь приравниваем её к нулю, чтобы найти точки экстремума (минимума и/или максимума):

cos x - sin 2x = 0 

(По формуле синуса двойного угла sin 2x = 2*(sin x)*(cos x)  )

cos x - 2*(sin x)*(cos x) = 0

Поделим обе части уравнения на cos x:

1 - 2*sin x = 0

Отсюда находим:

sin x = 1/2

x = (-1)^k Pi/6 +Pi*k; k принадлежит Z (множеству целых чисел).

 

Теперь мы можем найти минимальное и максимальное значения в точке экстремума (в заданный промежуток попадает только одна найденная точка - Pi/6):

y(0) = 1/2        (=0,5)

y(Pi/6) = 3/4   (=0,75)

y(Pi/2) = -1/2  (=-0,5)

 

Отсюда видно, что наименьшее значение функция принимает в точке Pi/2, а наибольшее - в точке Pi/6.

 

Ответ: -0,5 и 0,75