В правильной четырехугольной пирамиде sabc все ребра равны между собой точки K и M середины ребер SA и SB соответственно найдите угол между прямыми KM и SC ответ дайте в градусах


Помогите пожалуйста

1

Ответы и объяснения

2013-04-22T20:49:52+04:00
Задача несложная и решается прямыми последовательными выкладками. 
Сперва доказываем, что четырехугольник (из условия задачи - равнобочная трапеция) АМКД лежит в одной плоскости с треугольником АМК: 
т.к. точки М и К середины сторон SB и SC треугольника BSC, следовательно линия MK является средней линией треугольника BSC, а следовательно параллельна его основанию BC. Т.к. ABCD основание правильной четырехугольной пирамиды с равными ребрами, то ABCD есть квадрат и MK параллельна AD. Отрезки DK и АМ пересекаются одновременно с MK и АD каждая, следовательно они лежат с MK и AD в одной плоскости. Далее понятно. 
Теперь, чтобы найти угол между пересекающимися плоскостями, нужно найти угол между перпендикулярами, восстановленными из точки прямой пересечения плоскостей в каждой плоскости. обозначим эту точку О. Пусть это будет перпендикуляр, опущенный из вершины S треуголmника ADS. В плоскости AMKD восстановим перпендикуляр из точки О, он пересечет отрезок MK в точке L. Теперь наша задача сводится к: 
1) нахождению угла SOL в образовавшемся треугольнике SOL 
2) нахождению угла SLO в треугольнике SOL 
Т.к. все ребра в правильной пирамиде равны, то все грани пирамиды есть равносторонние треугольники с углами при основании 60. 
Тут проще работать с проекцией треугольника SOL, но я не буду этого делать, а вычислю все стороны треугольника и исходя из теоремы косинусов найду требуемые по условию задачи углы. Итак, OL можно найти как высоту равнобочной трапеции. Находим разность оснований, делим на 2, и по теореме пифагора находим высоту. 
OL=корень(АМ^2 - [(AD-MK)/2]^2 
AD=4; MK=BC/2=4/2=2; AM =2*корень(3) - высота равностороннего треугольника со стороной 4. 
OL=корень(11) 
SO=2*корень(3) - т.к. есть высота равностороннего треугольника со стороной 4. 
SL=корень(3) - т.к. есть половина высоты равностороннего треугольника 
Теперь из теоремы косинусов получаем: 
3=12+11-2*2*корень(3)*корень(11)*cos(SOL) ==> угол(SOL)=arccos(5/корень(33)) 
12=3+11-2*корень(3)*корень(11)*cos(SLO) ==> угол(SLO)=arccos(1/корень(33)) 

P.S. Решение не совсем строгое, я тут умышленно опустил несколько доказательств, например о том, что SL лежит в одной плоскости с SO и LO, но это не сложно, исходя из симметричности правильной пирамиды и оставляю вам на за